怎样求圆的外切正方形的面积最大？

根据“软化等积变形”公理来“化圆为方”会发现“圆面积s是它外切正方形面积的九分之七”。
因为“圆面积s是它外切正方形面积的九分之七”，所以“圆面积等于它直径d的三分之一平方的七倍”。圆的面积公式是：s=7(d/3)²、圆周率π与求圆的面积无关。
当长方形面积为πr²或πR²时，这个长方形面积被反转化拼成的却是圆的外切正n边形的面积。
为此，πr²或πR²＞s。

要求圆的外切正方形的面积最大，可以通过以下步骤来解决问题：
1. 求出正方形的边长：
- 由于正方形外切于圆，所以正方形的对角线的长度等于圆的直径。
- 圆的直径等于两倍的半径，即d = 2r。
- 对于正方形的对角线，根据勾股定理可知，对角线的长度d等于边长s的平方根乘以根号2，即d = s√2。
- 将上述两个等式相等，得到s√2 = 2r，即s = 2r/√2 = r√2。
2. 求出正方形的面积：
- 正方形的面积S等于边长的平方，即S = s^2 = (r√2)^2 = 2r^2。
根据以上分析，求圆的外切正方形的面积最大时，正方形的边长为r√2，面积为2r^2。
为了进一步验证我们的结论，我们可以考虑一个具体的例子：
假设圆的半径为r = 1，代入上述公式得到正方形的边长为s = r√2 = √2，面积为S = s^2 = (√2)^2 = 2。
同样，我们可以假设圆的半径为r = 2，代入公式得到正方形的边长为s = r√2 = 2√2，面积为S = s^2 = (2√2)^2 = 8。
从以上计算结果可以看出，当圆的半径不同，所得到的正方形面积也不同。因此，通过求圆的外切正方形的边长和面积的关系，我们可以确定在特定的半径下，正方形面积最大的取值。