近世代数理论基础3：等价关系

设A为一个集合,R为积集合 的子集,则称R为集合A上的一个关系, ,若 ,则称a与b具有关系R,记作aRb,否则称a与b不具有关系R

设A为一集合,R是A上的一个关系,若R满足：

自反性： ,有

对称性： ,若 ,则

传递性： ,若 ,则

则称R为集合A上的一个等价关系,记作

有理数域Q上所有柯西列构成的集合A,即

在A上定义关系 ：

,令

若 ,则定义

设 ,定义

R是Z上的等价关系

设R为集合A上的等价关系, ,与a等价的所有元组成的集合为元a所属的等价类,记作 ,即 ,a称为这个等价类的代表元

所有等价类构成的集合称为A关于R的商集,记为 ,即

设R为集合A上的等价关系,则

证明：

(注：命题表明一个等价类可选择其中的任何一个元为代表元)

设A是一个集合, 是A的子集簇,其中I是某个确定的指标集,满足：

(1) ,有

(2)

则称 是集合A的一个划分

定理：若R是集合A上的等价关系,则商集 是A上的一个划分

证明：

定理：若 是集合A的一个划分,则存在A上的一个等价关系R,使

证明：

(注：两个定理表明,集合的划分和等价关系是一回事)

令集合 , , ,则 是A的一个划分,该划分对应的等价关系为

设 为一个映射,则f可诱导出A上的一个关系R, ,显然R是A上的等价关系,其商集为

f还可诱导出一个从 到B的映射

定理：(1)上述 是单射

(2) 是双射 f是满射

证明：

例：设 , ,从A到B的一个映射f定义如下： , ,则由f诱导出的等价关系为

它的商集为 ,其中 ,

映射f诱导的从集合 到B的映射 如下： , ,显然, 的定义与 中元的代表元选择无关,即 是良性定义,且 是单射,由于f不是满射,所以 也不是双射