福师大 数学教育 近世代数 网络作业

第三次作业1、 设R是交换环，证明： (1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。2、 设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，R不能构成环。3、 在 中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算： f(x)= , g(x)= 4、 求出 中次数不超过2的所有可逆多项式。5、 在环 中，求元素 。6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得<a>=<24>+<36>, <b>=<24> <36>.7、 设 、 、 、 都是环R的理想，如果 证明这些理想的并集 是R的理想。8、 设f：R 是环的满同态，证明：(1) 如果R是交换环，则 也是交换环。(2) 举例说明： 是交换环，但R未必是交换环。9、 设R是有单位元1的环，证明 是多项式环 的真子环（即不等于 的子环），并且有环同构： 。10、 设 ={a+bi | a, b Z}, ,证明：(1) 按复数的通常运算， 是一个整环。（通常称 是高斯整环）(2) 如果p是一个素数，证明 。11、 有理系数多项式环Q[x]中，证明：<x> 是极大理想，也是素理想。12、设p是素数，在偶数环2Z中，证明主理想<2p>是极大理想，但<2p>是素理想的充分且必要条件：p是不等于2的素数。13、 设R={a+3bi | a, b Z}, (1) 按通常数的运算，证明：R是整环。(2) 求R的所有可逆元。14、 在高斯整环 中，证明3是素元，但2不是素元。15、在高斯整环 中将元素15进行既约元因子分解。16、证明：按数的通常运算， ={a + bi | a, b Q} 是一个域。( )