已知,如图,在正方形abcd中,ac,bd相交于点o.ae平分∩bac,分别交bc,bd于点e，f

证明：

过O点作OP∥BC交AE于P

∵点O是AC中点

∴OP是三角形AEC的中位线

∴OP= 1/2CE，OP∥AD
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°

∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°

∵∠EAC=∠BAE
∴∠OPF=∠OFP
∴OP=OF
∴OF=OE/2

过O作OG平行于AE交BC于G
显然 EG=GC=CE/2
可得角BAF=22.5
所以角BFE=67.5
BEF=67.5
所以BF=BE
所以 BO=BG
所以OF=EG=CE/2

过点C作BD的平行线CG与AE延长线交于G，则∠ECG=45°，AE平分∠BAC知∠BAE=22.5°，于是
∠AEB=90°-22.5°=67.5°，则∠GEC=67.5°，所以∠EGC=180°-45°-67.5°=67.5°，所以∠GEC=∠EGC，所以△CEM为等腰△，CE=CM，又O为AC中点，CM∥BD，所以OF=CM/2,于是
OF=CE/2

证明：过点O作OG∥BC交AE于G
∵正方形ABCD
∴AO＝CO，∠ABD＝∠ACB＝45
∵OG∥BC
∴∠AOG＝∠ACB＝45
∴∠AOG＝∠ABD
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE
∵∠OGF＝∠AOG+∠CAE，∠OFG＝∠ABD+∠BAE
∴∠OGF＝∠OFG
∴OG＝OF
又∵OG∥BC，AO＝CO
∴OG是△ACE的中位线
∴CE＝2OG
∴CE＝2OF
∴OF＝CE/2

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